Generalisiertes 2-Parameter-Modell

  Es gibt unterschiedliche Modelle, mit denen der evolutionäre Prozeß beschrieben wird. Das hier verwendete Modell ist das generalisierte 2-Parameter-Modell von Kishino and Hasegawa (1989). Es wird im Programmpaket PHYLIP seit Version 2.6 verwendet und wurde mit in das Programm fastDNAml, basierend auf PHYLIP Version 3.3, übernommen. Dieses Modell findet auch unverändert in pfastDNAml Anwendung.

Das generalisierte 2-Parameter-Modell modelliert den Evolutionsprozeß als reversiblen Markov-Prozeß (s. Kap. 4.1.1). Das Modell liefert uns eine Wahrscheinlichkeitsmatrix

$$P(t) = e^{tR}\mbox{,}$$ (1)

aus der die Wahrscheinlichkeit eines Basenaustausches in einem Zeitraum t entnommen werden kann. Bei R handelt es sich um die Ratenmatrix bzw., um den wahrscheinlichkeitstheoretischen Terminus zu gebrauchen, Generatormatrix, in der die einzelnen Substitutionsraten r_ij von einer Base i in eine Base j enthalten sind. Dieses r_ij errechnet sich wie folgt:

$$r_{ij} = \left\{\begin{array} {ll} (k/F_j + 1)\beta f_j & ... ... & \mbox{f\uml {u}r Transversionen .} \ \end{array} \right.$$ (2)

Dabei gibt f_j die Basenfrequenz der Base j, F_j die Frequenz des Basentyps (Purin oder Pyrimidin) an. $\beta$ entspricht der Transversionsrate pro Base, während k die Rate $\mbox{Transition}:\mbox{Transversion}$ angibt.

Die Ratenmatrix lautet also wie folgt:

$$\scriptstyle\left[ \begin{array} {cccc} \scriptstyle -\left... ...f_A + Y_C \cdot f_C + f_G\right)\beta \ \end{array} \right]$$ (3)

Hierbei entsprechen

Die Matrizen sind so angelegt, daß sich die Inhalte einer Zeile der Generatormatrix R zu und die Inhalte der Wahrscheinlichkeitsmatrix P zu 1 ($=100\%$) aufaddieren.

Die Wahrscheinlichkeitsmatrix P(t) wird in der nachfolgend beschriebenen Maximum-Likelihood-Methode verwendet, um die Wahrscheinlichkeit P_ij(t) für einen Basenaustausch von i nach j in einem Zeitraum t zu berechnen.

Vorteil der Modellierung des Evolutionsprozesses mit Matrizen ist es, daß bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit einer Basensubstitution alle möglichen Übergangszustände automatisch mit berücksichtigt werden. D.h. es werden auch die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Zwischenzustände mit berücksichtigt.